Menzerath-Altmann法則と一般化ガンマ分布（Eroglu, 2013）

とても興味深いこと。Eroglu（2013）は，Menzerath-Altmann法則と一般化ガンマ分布の関係について説明している。

Eroglu, S. (2013). Menzerath-Altmann law for distinct word distribution analysis in a large text. Physica A, 392, 2775 – 2780

Menzerath-Altmann法則は，

（a） $y(x|A, b, c) = A x^b e^{-cx}$

という風に書ける。

ここで，b = 0，c ≒ 0のとき，

（b） $y(x|A,c) = Ae^{-cx}$

となる。これは普通の指数関数。

で，b ≒ 0，c = 0のとき，

（c） $y(x|A,b) = Ax^{-b}$

これはZipfの法則。

ここで，一般化ガンマ分布の確率密度関数を(d)のように書くとする（parameterizationもいろいろあるが…）。

（d） $y(x|α,β,θ) = \frac{β}{θγ(α)}(\frac{x}{θ})^{αβ-1}e^{-(\frac{x}{θ})^β}$

β = 1のとき，（d）式はガンマ分布の確率密度関数になるし，β=θのとき，ワイブル分布の確率密度関数になる。その上，ガンマ分布は，母数の値によっては，指数分布にもなるし，アーラン分布にもなる。

で，いちばん大事なんだけど， $A = (θ^αγ(α))^{-1}，b = α-1，c = \frac{1}{θ}$ のとき，（d）式は（a）式になるらしい（Eroglu, 2013, p. 2776）。なるほど。

…なんだか，とっても安心する。

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