関係の数と三角数
2人いれば，2人の関係は1つ。3人いれば3つの関係。4人いれば6個の関係，5人いれば10の関係がある。
総当たり戦の数もいっしょ。2人いれば1試合，3人いれば3試合，4人いれば6試合，5人いれば10試合だ。
これを数列だと考えると，
という見たことあるような数列。今週奇しくも2回出会った。
これは，三角数に似ている。三角数は，
だから，三角数より一個ずれているみたい。三角数をとすると，
なので，この数列（を
とすると）は，
ということ。もっとわかりやすくすると，
というかんじ。
入試問題などにも出るみたい。階差数列の単純な問題として。
関係の数，というとなんか曖昧なんだけど，グラフ理論を考えると視覚的にわかりやすい。無向グラフがあって，Vの要素数がnのとき，このグラフが完全グラフになるEの要素数がこの数列。
三角数との関係は，完全グラフの隣接行列を考えるとピンとくる。三角数の定義通り，辺の中にある点が同じ正方形になっていて，その和がエッジ数であることがわかるし，増えていく列の中にある1の数がになってることから，階差数列であることもわかる。
これ，組み合わせと同じ。要素がn個ある集合から，要素を2個選ぶ組み合わせは，なので，やはり，
。一般に，三角数の方がメジャーなので，
とするよう。
ちなみに三角数の方は，それこそ無数に色んなところに出てくる。パスカルの三角形の3列目にも出てくる。
オンライン整数辞典という素晴らしいサイトがあって，この数列のページももちろんある。
